角 運動量 演算 子 交換 関係。 1.3 角運動量演算子の交換関係

軌道角運動量からスピンの性質を導く

長さは必ず0以上だから、その条件から何か言えるかもしれないのだ。 では導いてみましょう: 第2引数が積の場合も導いておきましょう: 以上の結果をまとめておきましょう: 反可換性 分配法則 則 これで準備 OK。 の交換関係を求めるでは、上記の公式を踏まえて、の交換関係を計算してみましょう。 元々スピンは電子の自転にともなう角運動量というアイディアで導入されたものであったが、そもそも電子のような構造のない点粒子に対して自転という描像を用いるのはあまり適当ではない。 少なくとも僕の知る範囲では。 それは現在では スピンと呼ばれるものである。 なので、まずは右辺各項と との交換子を個別に計算しておきましょう: これらの結果より となって、の2乗と成分の交換関係が消えることを導けました。

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軌道角運動量からスピンの性質を導く

実数 の2つの関数 に対して が成り立つという公式です。 すなわち、角運動量の交換関係を満足する演算子の固有値としては軌道角運動量のような整数値だけでなく半整数値があってもよいから、半整数の固有値をとるものも角運動量として採用しよう、という論法である。 ところが自然をよく観察してみるとこの対称性は完全ではないらしい。 まずはこれらの演算子の性質について、前回と同じように交換関係から調べてみよう。 5 となり,可換ではない。 例えば4次元空間ではスピンは何個の成分をもつベクトルになるだろう? そもそもスピンはベクトル量なのだろうか? またスピンはどのような演算規則を満足するだろう? これまでの伝統的なスピンの導入法に頼っていてはこれらの質問に対し何一つ明確な答えを与えることはできないはずだ。 一般に,古典物理量に対応する演算子 と が可換ならば,同時にこれらの確定値(固有値)をとる状態(固有関数)が存在する。

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角運動量演算子の交換関係

第2引数が和となっている場合も同様にして導出できますが、交換子の反可換性を使って導いてしましょう。 軌道角運動量 まず最初に量子論における軌道角運動量の性質を復習しておこう。 2行目から3行目への変形では則を(各項に対して2回)使ってますが、可換な量の交換子は消えるのでほとんどの項がなくなります。 反可換性• 例としてシュテルン・ゲルラッハの実験を考えてみよう。 他にも簡単に導けてよく用いる公式を下にまとめておきます。 しかし,この場合,角運動量の一つである スピン角運動量の存在理由がはっきりしません。 角運動量の大きさ 角運動量の大きさを表す演算子は、次のように表せるだろう。

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軌道角運動量からスピンの性質を導く

さて,具体的に一般角運動量を定義する次の 交換関係だけから,どのような関係式が導かれるのか見ていきましょう。 )しかしそのような論法をとらなくともスピンは理論的にきちんと導くことができる。 恐るるに足らず。 角運動量演算子の交換関係 角運動量と呼ばれるエルミート演算子 J k を次の交換関係を満たすものとする。 それには正攻法では難しいから、と同じように、すこし見方を変えて計算していく。

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角運動量の交換関係からみる固有状態

3 角運動量演算子の交換関係 ここで,角運動量の成分同士の交換関係を調べておく。 5 〜 1. 3 1. ,0,... さらに、球面調和関数は角度成分について完全系をなしていて、他の固有関数が入る余地もなさそうだったのだ。 記事にしとけば、毎年齷齪(あくせく)した学生がアクセスしてくれるんじゃないかと期待。 軌道角運動量からスピンの性質を導く 軌道角運動量からスピンの性質を導く 多くの量子力学の教科書では半整数の大きさをもつ角運動量・スピンがかなり荒っぽい方法で導入される。 ただ、あまりに途中式を書きすぎると変形の流れが分かりにくくなるときがあるので、そして単純に面倒なので、記事が進むにつれて途中式を省略していきます。 位置、運動量の交換関係を使っていきなりの成分間の交換関係を導いてもまぁいいんですが、結構計算がゴチャゴチャするので、まず交換関係を計算するときに使うと便利な公式をいくつか導いてから、それらを使っての交換関係を計算することにしましょう。 1 演算子間の交換関係を表すために, 1. 則 反可換性交換子は、2つの引数を入れ替えると負符号が付きます。

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角運動量の交換関係からみる固有状態

。 (答えが気になる人は「」を参照) また、上での導出法は「スピン」という存在に対する理解を深めてもくれる。 ということで、ここでは普通にそのまま交換関係を計算することにします。 だけを導けば充分でしょう。 すなわち,角運動量の2乗と角運動量の x, y, z 成分の中のどれか1つは同時に決定できる。 交換子についても同様の関係が成り立ちます。 次はこの固有値が具体的にどんな値になるのかを考えよう。

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